Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB＝20，連接BD，點P是射線BC上一點（不與點B重合），AP與對角線BD交于點E，連接EC．

（1）求證：AE＝CE；

（2）若sin∠ABD＝，當點P在線段BC上時，若BP＝8，求△PEC的面積；

（3）若∠ABC＝45°，當點P在線段BC的延長線上時，請求出△PEC是等腰三角形時BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）20或10+10

【解析】

（1）由SAS證得△ABE≌△CBE，即可得出結論；

（2）連接AC，交BD于O，求出OA＝4，OB＝8，則AC＝8，BD＝16，S菱形ABCD＝320，S△ABC＝160， ，則S△ABP=S△ABC=64，易證∠ABE=∠PBE，得出，則S△BPE=S△ABP=，由，得出S△PEC= S△BPE即可得出結果；

（3）①由（1）得△ABE≌△CBE，則∠BAE＝∠BCE，當∠BAE＝90°時，得△PEC是等腰直角三角形，過點E作∠FEC＝45°交BC于F，則△FCE為等腰直角三角形，得出CE＝CP＝CF，EF＝CF，證明∠BEF＝∠EBC，得出EF＝BF，則CF+CF＝BC＝20，求出CF＝20（﹣1），即可得出結果；

②由（1）得△ABE≌△CBE，則∠AEB＝∠CEB，當∠BAE＝105°時，∠AEB＝52.5°，得出∠AEC＝105°，∠CEP＝75°，證明∠ECP＝∠CEP，得出△PEC是等腰三角形，過點A作AN⊥BP于N，則△ABN是等腰直角三角形，得出AN＝BN＝AB＝10，由tan30°＝ ，求出PN＝10 ，即可得出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABE＝∠CBE，AB＝BC，

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE；

（2）解：連接AC，交BD于O，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，OB=OD，OA=OC，AB=BC=20，

∵sin∠ABD= ，
∴OA=4，
∴AC=2OA=2×4=8，
BD=2OB=2×8=16，
∴S菱形ABCD=ACBD=×8×16=320，
∴S△ABC=S菱形ABCD=×320=160，
∵BP=8，
∴CP=BC-BP=20-8=12，
∵，
∴S△ABP=S△ABC=×160=64，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠PBE，
∴點E到邊AB、BP的距離相等，
∴，
∴S△BPE=S△ABP=×64=，
∵，
∴S△PEC=S△BPE=×=；
（3）解：①由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，

當∠BAE=90°時，則∠BCE=90°，
∴∠ECP=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=22.5°，∠CPE=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CE=CP，∠BEC=90°-22.5°=67.5°，
過點E作∠FEC=45°交BC于F，如圖2所示：
則△FCE為等腰直角三角形，
∴CE=CP=CF，EF=CF，∠BEF=∠BEC-∠FEC=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BEF=∠EBC，
∴EF=BF，
∴CF+CF=BC=20，
∴CF==20（-1），
∴BP=BC+CP=BC+CF=20+20（-1）=20；
②由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
當∠BAE=105°時，∠AEB=180°-105°-22.5°=52.5°，
∴∠AEC=2∠AEB=105°，
∴∠CEP=180°-105°=75°，
∵∠APB=180°-105°-45°=30°，
∴∠ECP=180°-75°-30°=75°，

∴∠ECP=∠CEP，
∴△PEC是等腰三角形，
過點A作AN⊥BP于N，如圖3所示：
則△ABN是等腰直角三角形，
∴AN=BN= AB=10，
∵∠APB=30°，
∴tan30°=，即，
∴PN=10，
∴BP=BN+PN=10+10；
綜上所述，△PEC是等腰三角形時BP的長為20或10+10 ．