Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c經過點A(﹣2，0)，B(3，0)，與y軸負半軸交于點C，且OC＝OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在y軸負半軸上存在一點D，使∠CBD＝∠ADC，求點D的坐標；

（3）點D關于直線BC的對稱點為D′，將拋物線y＝ax2+bx+c向下平移h個單位，與線段DD′只有一個交點，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）D(0，﹣6)；（3）3≤h≤15

【解析】

（1）OC＝OB，則點C（0，﹣3），拋物線的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝，即可求解；

（2）CH＝HD＝m，tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），即可求解；

（3）過點C作x軸的平行線交DH的延長線于點D′，則D′（﹣3，﹣3）；當平移后的拋物線過點C時，拋物線與線段DD′有一個公共點，此時，h＝3；當平移后的拋物線過點D′時，拋物線與線段DD′有一個公共點，即可求解．

解：（1）OC＝OB，則點C（0，﹣3），

拋物線的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），

﹣6a＝﹣3，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）設CD＝m，過點D作DH⊥BC交BC的延長線于點H，則CH＝HD＝m，

tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝，

解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），

故點D（0，﹣6）；

（3）過點C作x軸的平行線交DH的延長線于點D′，則D′（﹣3，﹣3）；

平移后拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣3﹣h，

當平移后的拋物線過點C時，拋物線與線段DD′有一個公共點，此時，h＝3；

當平移后的拋物線過點D′時，拋物線與線段DD′有一個公共點，

即﹣3＝×9+﹣h，解得：h＝15，

故3≤h≤15．