Question

（本小題滿分14分）
如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。設拋物線的頂點為D，求解下列問題：

小題1:（1）求拋物線的解析式和D點的坐標；
小題2:（2）過點D作DF∥軸，交直線BC于點F，求線段DF的長，并求△BCD的面積；
小題3:（3）能否在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形？若能找到，試寫出Q點的坐標；若不能，請說明理由。

Answer 1

小題1:解：（1）設拋物線的解析式為
把（0，3）代入，解得，
解析式為-----------------------2分
則點的坐標為（1，4）-----------------------2分
小題2:（2）設直線BC的解析式為，把B（3，0）代入，
解得，所以
∴DF=   -----------------------2分
△BCD的面積=  --------------2分
小題3:（3）①點即在拋物線上，CD=，BC=，。
∵，，∴ ∴，
這時與點重合點坐標為----------------------------------2分
②如圖（4），若為，作QF⊥軸于，
軸于
可證
有
則點坐標
即
化簡為
即
解之為或
由得坐標：----------2分
③若為
如圖（5），延長交軸于，
作軸于，
軸于
可證明
即
則
得，
解法（1）過Q作QG∥軸交DE于點G，∴，，
∴， ，解得（舍去），
代入解得，為
解法（2）點的坐標為
所在的直線方程為
則與的解為，得交點坐標為···················· 2分
即滿足題意的點有三個，，

略