Question

如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數y=x²+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標；
（3）對于（2）中的點B，在此拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵函數的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴這個二次函數的解析式為y=x²﹣3x。
（2）如圖，過點B做BD⊥x軸于點D，

令x²﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。
∵△AOB的面積等于6，∴AO•BD=6。∴BD=4。
∵點B在函數y=x²﹣3x的圖象上，
∴4=x²﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵頂點坐標為：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，
∴x軸下方不存在B點。
∴點B的坐標為：（4，4）。
（3）存在。
∵點B的坐標為：（4，4），∴∠BOD=45°，。
若∠POB=90°，則∠POD=45°。
設P點坐標為（x，x²﹣3x）。
∴。
若，解得x="4" 或x=0（舍去）。此時不存在點P（與點B重合）。
若，解得x="2" 或x=0（舍去）。
當x=2時，x²﹣3x=﹣2。
∴點P 的坐標為（2，﹣2）。
∴。
∵∠POB=90°，∴△POB的面積為： PO•BO=××=8。

解析