Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與直線y＝x相交于點B，點B的橫坐標為3，點A（0，6）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）動點P從原點O出發，以每秒個單位長度的速度沿x軸正方向運動，過點P作直線y＝x的垂線，垂足為C，連接AP，AP的中點為D，連接CD，設CD＝d，點P運動的時間為t秒，求d與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，當tan∠APC＝時，求t的值．

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x+6；(2)見解析;(3)t=或9.

【解析】

（1）根據題意將點B的橫坐標代入y＝x中可以求得點B的坐標，然后根據點A和點B的坐標即可求得直線AB的解析式，用代入系數法求；
（2）根據題意可以畫出相應的圖形，然后利用分類討論的方法可以求得d與t的函數關系式；

（3）根據（2）中的條件和圖形，可以求得相應的t的值．

解：（1）∵直線AB與直線y＝x相交于點B，點B的橫坐標為3，

∴點B的坐標為（3，3），

設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將A（0，6），B（3，3）代入y＝kx+b，得

，

解得：，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；

（2）如圖一所示，

∵點P從原點O出發，以每秒個單位長度的速度沿x軸正方向運動，

∴點P的坐標為（，0），

∵點D為AP得中點，點A（0，﹣6），

∴點D的坐標為（，3），

∵PC⊥OB，直線OB的解析式為y＝x，點P的坐標為（，0），

∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，

∴OC＝t，

∴點C的坐標為：（，），

∵CD＝d，

∴d＝＝3﹣（0＜t≤3）；

如圖二所示，

∵點P從原點O出發，以每秒個單位長度的速度沿x軸正方向運動，

∴點P的坐標為（，0），

∵點D為AP得中點，點A（0，﹣6），

∴點D的坐標為（，3），

∵PC⊥OB，直線OB的解析式為y＝x，點P的坐標為（，0），

∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，

∴OC＝t，

∴點C的坐標為：（，），

∵CD＝d，

∴d＝＝﹣3（t＞3）；

（3）如圖一所示，作DE⊥OB于點E，

∵PC⊥OB，DE⊥OB，

∴PC∥DE，

∴∠EDP＝∠APC，

∵DC＝3﹣，點D（，3），點C（，），

∴DC⊥x軸，

∴∠CDE＝45°，

∴CE＝DE＝＝，

∵PC＝t，tan∠APC＝，

∴tan∠EDP＝，

∴，

解得，t＝；

如圖二所示，作DE⊥OB于點E，

∵PC⊥OB，DE⊥OB，

∴PC∥DE，

∴∠EDP＝∠APC，

∵DC＝﹣3，點D（，3），點C（，），

∴DC⊥x軸，

∴∠CDE＝45°，

∴CE＝DE＝＝，

∵PC＝t，tan∠APC＝，

∴tan∠ADE＝，

∴，

解得，t＝9．