Question

【題目】（本小題滿分9分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（2）若△AEP是等邊三角形，連結BP，求證：△APB≌△EPC；

（3）若矩形ABCD的邊AB=6，BC=4，求△CPF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題（1）由折疊的性質得到BE=PE，EC⊥PB，根據E為AB中點，得到AE=PE，利用等角對等邊得到兩對角相等，利用外角性質得到∠AEP=2∠EPB，設∠EPB=x，則∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB為90°，進而得到AF與EC平行，再由AE與FC平行，利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；

（2）根據等邊三角形性質，得到△AEP三條邊相等，三內角相等，再由折疊的性質及鄰補角定義得到一對角相等，根據同角的余角相等得到一對角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得證；

（3）過P作PM⊥CD，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，利用面積求出BQ，再根據BP=2BQ求出BP，在Rt△ABP中，利用勾股定理求出AP，根據AF-AP求出PF，由PM與AD平行，得到△PMF與△ADF相似，由相似得比例求出PM，再由FC=AE=3，求出△CPF面積即可．

試題解析：（1）由折疊得到BE=PE，EC⊥PB，∵E為AB的中點，∴AE=EB，即AE=PE，∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA，∵∠AEP為△EBP的外角，∴∠AEP=2∠EPB，設∠EPB=x，則∠AEP=2x，∠APE==90°﹣x，∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°，即BP⊥AF，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四邊形AECF為平行四邊形；

（2）∵△AEP為等邊三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠PEC=∠BEC=60°，∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，∴∠BAP=∠BEQ，在△ABP和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，∴△ABP≌△EBC（AAS），∵△EBC≌△EPC，∴△ABP≌△EPC；

（3）過P作PM⊥DC，交DC于點M，在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，根據勾股定理得：EC==5，∵S△EBC=EBBC=ECBQ，∴BQ==，由折疊得：BP=2BQ=，在Rt△ABP中，AB=6，BP=，根據勾股定理得：AP==，∵四邊形AECF為平行四邊形，∴AF=EC=5，FC=AE=3，∴PF==，∵PM∥AD，∴，即，解得：PM=，則S△PFC=FCPM==．