Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE＝DC，點F是DE與AC的交點.

（1）求證：∠BDE＝∠ACD

（2）若DE＝2DF，過點E作EG∥AC交AB于點G，求證：AB＝2AG；

（3）將“點D在BA的延長線上，點E在BC上” 改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”，“點F是DE與AC的交點改為 “點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖.

① 求證：；

② 若DE＝4DF，請直接寫出S△ABC∶S△DEC的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）① 見解析；② .

【解析】

（1）運用等腰三角形的性質及三角形的外角性質就可解決問題；

（2）過點E作EG∥AC，交AB于點G，如圖1，證明△DCA≌△EDG，可得DA＝EG ，CA＝DG，再由DF＝EF，得到DA＝AG＝BG；

（3）①過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，如圖2，證明△DCA≌△EDG，可得AD=GE，由AC∥EG得△ABC∽△GBE，BG=GE，根據相似三角形對應邊成比例列式可得結果；②作AH垂直BC于H，作DM⊥CE于M，由△ADF∽△CDE及AD= GE= BG可得，由△ABC∽△GBE可得，根據三角形面積公式列出比例式化簡即可.

解：（1）證明：∵AB＝AC，DC＝DE，

∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．

∴∠BDE＝∠DEC∠DBC＝∠DCE∠ACB＝∠ACD．

（2）過點E作EG∥AC，交AB于點G，如圖1，

則有∠DAC＝∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∠DCA＝∠GDE，

∠DAC＝∠DGE，

DC＝DE，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA＝EG，CA＝DG，

∴DG＝AB．

∴DA＝BG．

∵AF∥EG，DF＝EF，

∴DA＝AG．

∴AG＝BG．

∴AB＝2AG．

（3）①過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，如圖2，

∵AB＝AC，DC＝DE，

∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．

∴∠BDE＝∠DBC∠DEC＝∠ACB∠DCE＝∠DCA．

∵AC∥EG，

∴∠DAC＝∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

，

∴△DCA≌△EDG（AAS），

∴AD=GE，

∵AC∥EG，

∴△ABC∽△GBE，AB=AC，

∴BG=GE，

∴，

∴

即：；

②∵AC∥EG，

∴△ADF∽△CDE，

∴，

∵AD= GE= BG，

∴，

作AH垂直BC于H，作DM⊥CE于M，如圖2，

∴AH∥DM，

∴，

又∵△ABC∽△GBE，

∴，

∴，

∴.