Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在圓上，∠CAB=30°．

（1）求證：DC是⊙O的切線．
（2）若BD=1cm，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC、BC，如圖，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠OCA=60°，

∵OC=OB，

∴△OBC 是等邊三角形，

∴∠OCB=∠OBC=60°，

又∵BD=OB，

∴∠BDC=∠BCD，

而∠OBC=∠BDC+∠BCD，

∴∠BCD=30°，

∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切線

（2）解：OB=BD=BC=1，

在Rt△ABC中，∴∠A=30°，

∴AC= BC= cm

【解析】（1）連接OC、BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則可計算出∠COB=60°，于是可判斷△OBC 是等邊三角形，則∠OCB=∠OBC=60°，再利用等腰三角形的性質和三角形外角性質計算出∠BCD=30°，從而得到∠OCD=90°，然后根據切線的判定定理可得到結論；（2）利用等邊三角形的性質得OB=BD=BC=1，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出AC．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓周角定理和切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．