Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數關系式；
(2)設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標，并求出此時的周長；
(3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為直角三角形？若存在，請寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y＝－x²＋2x＋3；（2）P（1,2），；（3）.M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

解析試題分析：(1)直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可．
(2)由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．
(3)由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．
試題解析：(1)將A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入拋物線y＝ax²＋bx＋c中，得：
，解得：
∴拋物線的解析式：y＝－x²＋2x＋3．
（2）y＝－x²＋2x＋3的對稱軸x=1，設點P為（1，p）
因為對稱軸垂直平分AB，所以：PA=PB.
△PAC的周長=AC+PC+PA=AC+PC+PB
其中
當點B、P和C三點共線時，PC+PB存在最小值：

直線BC：y=-x+3，點P在直線BC上：p=-1+3=2
所以點P為（1,2），此時△PAC的周長最小值為
(3)拋物線的解析式為：x＝－＝1，設M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，則：
MA²＝m²＋4，MC²＝m²－6m＋10，AC²＝10；
①若MA＝MC，則MA²＝MC²，得：
m²＋4＝m²－6m＋10，得：m＝1；
②若MA＝AC，則MA²＝AC²，得：
m²＋4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，則MC²＝AC²，得：
m²－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；
當m＝6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

考點: 二次函數綜合題.