Question

【題目】發現：已知△ABC中，AE是△ABC的角平分線，∠B＝72°，∠C＝36°

（1）如圖1，若AD⊥BC于點D，求∠DAE的度數；

（2）如圖2，若P為AE上一個動點（P不與A、E重合），且PF⊥BC于點F時，∠EPF＝　 　°．

（3）探究：如圖2△ABC中，已知∠B，∠C均為一般銳角，∠B＞∠C，AE是△ABC的角平分線，若P為線段AE上一個動點（P不與E重合），且PF⊥BC于點F時，請寫出∠EPF與∠B，∠C的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）18°（2）18°（3）∠EPF＝

【解析】

（1）利用三角形內角和定理和角平分線定義求出∠BAE＝36°，然后根據直角三角形的性質求出∠BAD＝18°，問題得解；

（2）首先求出∠AEB＝72°，然后根據直角三角形的性質求解即可；

（3）如圖2，同（1）（2）步驟可得結論．

（1）∠BAC＝180°－36°－72°＝72°，

∵AE是△ABC的角平分線，

∴∠BAE＝36°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD＝90°－72°＝18°，

∴∠DAE＝∠BAE -∠BAD =36°－18°＝18°；

（2）∵∠B＝72°，∠BAE＝36°，

∴∠AEB＝180°-72°-36°=72°，

∵PF⊥BC，

∴在三角形EPF中，∠EPF＝90°－∠AEB＝90°－72°＝18°；

（3）∠EPF＝，

理由：∵AE為角平分線，

∴∠BAE＝（180°－∠B－∠C），

∴∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝180°－∠B－（180°－∠B－∠C）＝90°－∠B ＋∠C，

在三角形EPF中，∠EPF＝90°－∠AEB＝90°－（90°－∠B ＋∠C）＝.