Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=4，點C在半徑OA上（點C與點O、A不重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D，連接OD，過點B作OD的平行線交⊙O于點E，交CD的延長線于點F．

（1）若∠F=30°，請證明E是 的中點；

（2）若AC=，求BEEF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BEEF=5．

【解析】

（1）連接OE，如圖1所示，根據已知條件易證△OBE為等邊三角形，即可得∠OEB=∠BOE=60°．又因OD∥BF，根據平行線的性質可得∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，即可得；（2）過點Q作OM⊥BE于M，如圖2所示，先證明△OBM≌△DOC，可得BE=2OC=3；再證明△COD∽△CBF，根據相似三角形的性質求得BF=，即可得EF=BF﹣BE=，所以BEEF=3×=5．

（1）證明：連接OE，如圖1所示．

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°．

∵∠F=30°，

∴∠OBE=60°．

∵OB=OE，

∴△OBE為等邊三角形，

∴∠OEB=∠BOE=60°．

∵OD∥BF，

∴∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，

∴=．

（2）過點Q作OM⊥BE于M，如圖2所示．

∵OB=OE，

∴BE=2BM．

∵OD∥BF，

∴∠COD=∠B．

在△OBM和△DOC中，，

∴△OBM≌△DOC（AAS），

∴BM=OC=2﹣=，

∴BE=2OC=3．

∵OD∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴=，即=，

∴BF=，

∴EF=BF﹣BE=﹣3=，

∴BEEF=3×=5．