Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A（﹣1，0）、B（3，0）、點C三點．

（1）試求拋物線的解析式；
（2）點D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC、BD．試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B′O′C′．在平移過程中，△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S，設平移的時間為t秒，試求S與t之間的函數關系式？

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣1，0）、B（3，0）代入拋物線y=ax2+bx+3（a≠0），

，

解得：a=﹣1，b=2．

故拋物線解析式為：y=﹣x2+2x+3．

（2）

解：存在

將點D代入拋物線解析式得：m=3，

∴D（2，3），

令x=0，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=OB，

∴∠OCB=∠CBO=45°，

如下圖，

在y軸上取點G，使GC=CD=2，

在△CDB與△CGB中

∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）

∴△CDB≌△CGB，

∴∠PBC=∠DBC，

∵點G（0，1），

設直線BP：y=kx+1，

代入點B（3，0），

∴k=﹣ ，

∴直線BP：y=﹣ x+1，

聯立直線BP和二次函數解析式：

，

解得： 或 （舍），

∴P（﹣ ， ）．

（3）

解：直線BC：y=﹣x+3，直線BD：y=﹣3x+9，

當0≤t≤2時，如下圖：

設直線C′B′：y=﹣（x﹣t）+3

聯立直線BD求得F（ ， ），

S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF

= ×2×3﹣ ×t×t﹣ ×（2﹣t）（3﹣ ）

整理得：S=﹣ t2+3t（0≤t≤2）．

當2＜t≤3時，如下圖：

H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）

S=S△HIB= [（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）

整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）

綜上所述：S= ．

【解析】（1）將點A、B代入拋物線解析式，求出a、b值即可得到拋物線解析式；（2）根據已知求出點D的坐標，在y軸上取點G，使GC=CD=2，只要證明證明△CDB≌△CGB，可知∠PBC=∠DBC，寫出直線BP解析式，聯立二次函數解析式，求出點P坐標；（3）分兩種情況，第一種情況重疊部分為四邊形，利用大三角形減去兩個小三角形求得解析式，第二種情況重疊部分為三角形，可利用三角形面積公式求得．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．