Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=

1

4

x2-6與直線y=

1

2

x相交于A，B兩點．
（1）求線段AB的長；
（2）若一個扇形的周長等于（1）中線段AB的長，當扇形的半徑取何值時，扇形的面積最大，最大面積是多少；
（3）如圖2，線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C，D兩點，垂足為點M，分別求出OM，OC，OD的長，并驗證等式

1

OC2

+

1

OD2

=

1

OM2

是否成立；
（4）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，設BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，試說明：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

Answer 1

分析：（1）分別過A、B兩點作AE⊥x軸，BF⊥y軸，垂足分別為E、F，利用勾股定理求出AB的值．
（2）設扇形的半徑為x，扇形面積為y．根據扇形的面積公式求出函數關系式化簡即可．
（3）過點A作AE⊥x軸，垂足為點E．證明△AEO∽△CMO，利用線段比求出CO、OD的值．利用勾股定理求出OM．
（4）由題意利用勾股定理得AB²=a²+b²．然后推出a²b²=c²•h²可證明．

解答：解：（1）在平面直角坐標系中，拋物線y=

1

4

x2-6與直線y=

1

2

x相交于A，B兩點．
∴A（-4，-2），B（6，3）
如圖1，分別過A、B兩點作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E、F，
∴AB=OA+OB=

42+22

+

62+32

=5

5

（2）設扇形的半徑為x，則弧長為(5

5

-2x)，扇形的面積為y
則y=

1

2

x(5

5

-2x)=-x2+

5

2

5

x=-(x-

5 5

4

)2+

125

16

∵a=-1＜0
∴當x=

5 5

4

時，函數有最大值y_最大=

125

16

（3）如圖2，過點A作AE⊥x軸，垂足為點E．
∵CD垂直平分AB，點M為垂足
∴OM=

1

2

AB-OA=

5 5

2

-2

5

=

5

2

∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM
∴△AEO∽△CMO
∴

OE

OM

=

AO

CO

∴

4

5 2

=

2 5

CO

∴CO=

5

2

•2

5

•

1

4

=

5

4

同理可得OD=

5

2

∴

1

OC2

+

1

OD2

=(

4

5

)2+(

2

5

)2=

20

25

=

4

5

∴

1

OM2

=

4

5

∴

1

OC2

+

1

OD2

=

1

OM2

（4）等式

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

成立．理由如下：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴

1

2

ab=

1

2

AB•h   AB2=a2+b2
∴ab=c•h
∴a²b²=c²•h²
∴a²b²=（a²+b²）h²
∴

a2b2

a2b2h2

=

(a2+b2)h2

a2b2h2

∴

1

h2

=

a2+b2

a2b2

∴

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

∴

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，同時要注意的是函數與勾股定理相結合解答題目．