Question

【題目】定義：有三個內角相等的四邊形叫三等角四邊形．

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；
（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點E，F分別落在邊BE，BF上的點A，C處，折痕分別為DG，DH．求證：四邊形ABCD是三等角四邊形．
（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，則當AD的長為何值時，AB的長最大，其最大值是多少？并求此時對角線AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠A=∠B=∠C，

∴3∠A+∠ADC=360°，

∴∠ADC=360°﹣3∠A．

∵0＜∠ADC＜180°，

∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，

∴60°＜∠A＜120°；

（2）

證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，

∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．

∵DE=DA，DF=DC，

∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，

∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，

∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，

∴四邊形ABCD是三等角四邊形

（3）

①當60°＜∠A＜90°時，如圖1，

過點D作DF∥AB，DE∥BC，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴EB=DF，DE=FB，

∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，

設AD=x，AB=y，

∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，

∵△DAE∽△DCF，

∴ ，

∴ ，

∴y= x2+x+4=﹣ （x﹣2）2+5，

∴當x=2時，y的最大值是5，

即：當AD=2時，AB的最大值為5，

②當∠A=90°時，三等角四邊形是正方形，

∴AD=AB=CD=4，

③當90°＜∠A＜120°時，∠D為銳角，如圖2，

∵AE=4﹣AB＞0，

∴AB＜4，

綜上所述，當AD=2時，AB的長最大，最大值是5；

此時，AE=1，如圖3，

過點C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，

∵DA=DE，DN⊥AB，

∴AN= AE= ，

∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，

∴△DAN∽△CBM，

∴ ，

∴BM=1，

∴AM=4，CM= = ，

∴AC= = =

【解析】（1）根據四邊形的內角和是360°，確定出∠A的范圍；（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據等角的補角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；（3）分三種情況分別討論計算AB的長，從而得出當AD=2時，AB最長，最后計算出對角線AC的長．此題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形的內角和是360°，平行四邊形的性質，正方形的性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理，解本題的關鍵是分類畫出圖形，也是解本題的難點．
【考點精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．