Question

19．如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=12，高AD=10，矩形EFPQ的一邊QP邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．
（1）求證：$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$；
（2）設BF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；
（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質得出EF∥QP，再由AD⊥BC可得出AH⊥EF，進而可得出結論；
（2）先用x表示出AH的長，再由S_矩形EFPQ=EF•EQ可得出二次函數的解析式，進而可得出結論；
（3）先求出PC及QC的長，再分0≤t≤5，5≤t＜6及6≤t≤11三種情況進行討論即可．

解答 （1）證明：∵四邊形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP．
∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；

（2）解：∵由（1）得，$\frac{AH}{10}$=$\frac{x}{12}$，
∴AH=$\frac{5}{6}$x，
∴EQ=HD=AD-AH=10-$\frac{5}{6}$x，
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（10-$\frac{5}{6}$x）=-$\frac{5}{6}$x²+10x=-$\frac{5}{6}$（x-6）²+30，
∵-$\frac{5}{6}$＜0，
∴當x=6時，S_矩形EFPQ有最大值，最大值為30．

（3）解：如圖1，由（2）得，EF=6，EQ=5，
∵∠C=45°，
∴△FPC是等腰直角三角形，
∴PC=PF=EQ=5，QC=QP+PC=11，
分三種情況進行討論：
①如圖2所示，當0≤t≤5時，設EF、PF分別交AC于點M，則△MFN是等腰直角三角形，
∴FN=MF=t，
∴S=S_矩形EFPQ-S_△MFN=30-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{1}{2}$t²+30；
②如圖3，當5≤t＜6時，則ME=6-t，QC=11-t，
∴S=S梯形EMCQ=$\frac{1}{2}$[（6-t）+（11-t）]×5=-5t+$\frac{85}{2}$；
③如圖4，當6≤t≤11時，設EQ交AC于點K，則△KQC是等腰直角三角形，則KQ=QC=11-t，
∴S=S_△KQC=$\frac{1}{2}$（11-t）²，
綜上所述，S與t的函數關系式為：
$S=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{t}^{2}+30（0≤t＜5）\\-5t+\frac{85}{2}（5≤t＜6）\\ \frac{1}{2}（t-1）^{2}（6≤t≤11）\end{array}\right.$．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到等腰直角三角形的性質、矩形的性質及二次函數的最值問題，在解答（3）時要注意進行分類討論．