Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，經過點D的直線EF⊥AB于點E，與AC的延長線交于點F．

（1）直線EF是否為⊙O的切線？并證明你的結論．

（2）若AE＝4，BE＝1，試求cosA的值．

Answer 1

【答案】（1）直線EF是⊙O的切線，證明詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，AD，根據圓周角定理以及等腰三角形的性質可知D是BC的中點，利用中位線的性質可知OD∥AB，從而可知∠ODE＝∠BED＝90°．

（2）設CF＝a，得出=，則=，解得a＝，可得出答案．

解：（1）EF是⊙O的切線．理由如下：

連接OD，AD，

∵AC是⊙O直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴點D是BC的中點，

∵O是AC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∵EF⊥AB，

∴∠ODE＝∠BED＝90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）由（1）得，OD＝AB＝，

∴AO＝OC＝OD＝，

設CF＝a，

∵OD∥AB，

∴=

∴=，

∴20+8a＝25+5a，

∴a＝，

∴AF＝5+＝，

∴cos∠FAE＝．