Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交AB于點F．
（1）求證：AE為⊙O的切線；
（2）當BC=4，AC=6時，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OM，如圖1，

∵BM是∠ABC的平分線，

∴∠OBM=∠CBM，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠CBM=∠OMB，

∴OM∥BC，

∵AB=AC，AE是∠BAC的平分線，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE為⊙O的切線

（2）解：設⊙O的半徑為r，

∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分線，

∴BE=CE= BC=2，

∵OM∥BE，

∴△AOM∽△ABE，

∴ = ，即 = ，解得r= ，

即設⊙O的半徑為

（3）解：作OH⊥BE于H，如圖，

∵OM⊥EM，ME⊥BE，

∴四邊形OHEM為矩形，

∴HE=OM= ，

∴BH=BE﹣HE=2﹣ = ，

∵OH⊥BG，

∴BH=HG= ，

∴BG=2BH=1．

【解析】（1）連接OM，如圖1，先證明OM∥BC，再根據等腰三角形的性質判斷AE⊥BC，則OM⊥AE，然后根據切線的判定定理得到AE為⊙O的切線；（2）設⊙O的半徑為r，利用等腰三角形的性質得到BE=CE= BC=2，再證明△AOM∽△ABE，則利用相似比得到 = ，然后解關于r的方程即可；（3）作OH⊥BE于H，如圖，易得四邊形OHEM為矩形，則HE=OM= ，所以BH=BE﹣HE= ，再根據垂徑定理得到BH=HG= ，所以BG=1．