Question

如圖，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=18，BC=24，AB=m．在線段BC上任取一點P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點E．
（1）當CP=6時，試確定點E的位置．
（2）若設CP=x，BE=y，寫出y關于x的函數關系式．
（3）在線段BC上能否找到不同的兩點P₁、P₂，使得按上述作法得到的點E都分別與點A重合？若能，試求出此時m的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過D作DF于PC垂直，垂足為F，根據三個角為直角的四邊形為矩形得到ABFD為矩形，根據矩形的對邊相等得到BF=AD，而AD為18，故BF為18，由BC-BF求出FC=6，所以此時P與F重合，由BF與DF垂直得到此時E與B重合；
（2）分兩種情況考慮：當P在BF上時，由PD與PE垂直，由BC，AB及CP，BE表示出FD，FP，PD的長，根據平角定義得到∠BPE與∠FPD互余，又根據直角三角形的兩銳角互余得到∠EPB與∠BEP互余，根據同角的余角相等得到∠BEP=∠FPD，由一對直角相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形BEP與三角形PFD相似，由相似得比例即可列出y與x的關系式；當P在FC上時，畫出圖形，同理可得y與x的關系式，綜上，得到y與x的關系式；
（3）存在，當E與A點重合時，BE=AB=m=y，此時P在BF上，由（2）對應的y與x的解析式，根據y=m列出關于m的方程，假設在線段BC上能找到兩個不同的點P₁與P₂滿足條件，故方程有兩個不等的實數根，進而得到根的判別式大于0，且根據負數沒有平方根，分別列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．

解答：解：（1）作DF⊥BC，F為垂足．
當PC=6時，
由已知可得四邊形ABFD是矩形，FC=6，
∴點P與點F重合．又∵BF⊥FD，
∴此時點E與點B重合．

（2）當點P在BF上（即6＜x≤24）時，
由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，FC=6，
所以BP=24-x，PF=6-x，
∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
∴∠DPF=∠PEB，又∠B=∠PFD=90°，
∴△PBE∽△DPF，
∴

EB

BP

=

PF

DF

，即

y

24-x

=

x-6

m

，
∴y=-

1

m

(x2-30x+144)．
當點P在CF上（即0＜x≤6）時，
由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，AB=m，
所以FD=m，FP=6-x，BP=24-x，
∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
∴∠DPF=∠PEB，又∠EBP=∠PFD=90°，
∴△PBE∽△DPF，
∴

BP

FD

=

EB

PF

，即

24-x

m

=

y

6-x

，
∴y=

1

m

(x2-30x+144)．
綜上：y=

- 1 m (x2-30x+144)(6＜x≤24) 1 m (x2-30x+144)(0＜x≤6)•

（3）能找到這樣的兩點．
當點E與點A重合時，AB=y=EB=m，
此時點P在線段BF上，根據（2）中的關系式，
則有m=-

1

m

(x2-30x+144)，整理得，x²-30x+144+m²=0①．
假設在線段BC上能找到兩個不同的點P₁與P₂滿足條件，
即方程①有兩個不相等的正根，
首先要△=（-30）²-4×（144+m²）＞0，
然后應有x=15±

81-m2

＞0．
由△＞0解得81＞m²，由于

81-m2

＜15，m＞0，
∴0＜m＜9．

點評：此題考查了梯形的性質，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，以及一元二次方程的應用，其中第二問的思路為：根據P在作出的DF的兩側分兩種情況，利用分類討論的思想，根據相似得比例得出y與x的關系式，第三問的思路為：構造一元二次方程，根據方程解的情況得出根的判別式大于0，進而列出關于m的不等式，從而求出m的范圍．學生求m范圍時還要注意負數沒有平方根這個隱含條件．