Question

（2013•永州）如圖，已知二次函數y=（x-m）²-4m²（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點．
（1）寫出A、B兩點的坐標（坐標用m表示）；
（2）若二次函數圖象的頂點P在以AB為直徑的圓上，求二次函數的解析式；
（3）在（2）的基礎上，設以AB為直徑的⊙M與y軸交于C、D兩點，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）解關于x的一元二次方程（x-m）²-4m²=0，求出x的值，即可得到A、B兩點的坐標；
（2）由二次函數圖象的頂點P在以AB為直徑的圓上，A、B是拋物線與x軸的交點，根據拋物線的對稱性及圓的半徑處處相等可知PM是AB的垂直平分線，且MP=MA=MB=

1

2

AB，得出點P的坐標為（m，-2m），又根據二次函數的頂點式為y=（x-m）²-4m²（m＞0），得出頂點P的坐標為：（m，-4m²），則-2m=-4m²，解方程求出m的值，再把m的值代入y=（x-m）²-4m²，即可求出二次函數的解析式；
（3）連接CM．根據（2）中的結論，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的長度，利用勾股定理列式求出OC的長，再根據垂徑定理得出弦CD的長等于OC的2倍．

解答：解：（1）∵y=（x-m）²-4m²，
∴當y=0時，（x-m）²-4m²=0，
解得x₁=-m，x₂=3m，
∵m＞0，
∴A、B兩點的坐標分別是（-m，0），（3m，0）；

（2）∵A（-m，0），B（3m，0），m＞0，
∴AB=3m-（-m）=4m，圓的半徑為

1

2

AB=2m，
∴OM=AM-OA=2m-m=m，
∴拋物線的頂點P的坐標為：（m，-2m），
又∵二次函數y=（x-m）²-4m²（m＞0）的頂點P的坐標為：（m，-4m²），
∴-2m=-4m²，
解得m₁=

1

2

，m₂=0（舍去），
∴二次函數的解析式為y=（x-

1

2

）²-1，即y=x²-x-

3

4

；

（3）如圖，連接CM．
在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×

1

2

=1，OM=m=

1

2

，
∴OC=

CM2-OM2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴CD=2OC=

3

．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到二次函數與一元二次方程的關系，二次函數的性質，以及圓的半徑、弦心距、半弦長構成直角三角形的應用，勾股定理，垂徑定理等知識，綜合性較強，但難度不是很大，仔細分析求解便不難解決．