Question

如圖，二次函數y=-

1

2

x²+mx+n的圖象與y軸交于點N，其頂點M在直線y=-

3

2

x上運動，O為坐標原點．

（1）當m=-2時，求點N的坐標；
（2）當△MON為直角三角形時，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），當拋物線y=-

1

2

x²+mx+n在對稱軸左側的部分與△ABC的三邊有公共點時，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵y=-

1

2

（x-m）²+

1

2

m²+n，
∴拋物線頂點M坐標為：（m，

1

2

m²+n），
∵頂點在直線y=-

3

2

x上，
∴

1

2

m²+n=-

3

2

m，
當m=-2時，n=1，
∴點N的坐標為：（0，1）；

（2）若點M在第二象限時，△MON不可能為直角三角形，當點M在坐標原點時，
△MON不存在，若點M在第四象限，當△MON為直角三角形時，顯然只有∠OMN=90°，
如圖1，過點M在x軸的垂線，垂足為H，
∵∠HOM+∠MON=90°，
∠MON+∠ONM=90°，
∴∠HOM=∠ONM，
∵∠OHM=∠OMN=90°，
∴△OMN∽△MHO，
∴

OM

MH

=

ON

OM

，
∴OM²=MH•ON，
設M（m，-

3

2

m），則MH=

3

2

m，OM²=

13

4

m²，而ON=-n，
∴

13

4

m²=

3

2

m×（-n），
即n=-

13

6

m①，
又

1

2

m²+n=-

3

2

m②，
由①②解得：
m=

4

3

，n=-

26

9

；

（3）由（1）可知，y=-

1

2

x²+mx-

1

2

m²-

3

2

m，
當點A（-4，2）在該拋物線上時，
-

1

2

×（-4）²-4m-

1

2

m²-

3

2

m=2，
整理得出：m²+11m+20=0，
解得：m=

-11± 41

2

，
∵在對稱軸的左側，∴m只能取

-11+ 41

2

，
∵B（-4，-3），C（-2，2），
設直線BC的解析式為y=ax+b，
則

-4a+b=-3 -2a+b=2

，
解得：

a= 5 2 b=7

，
∴直線BC的解析式為：y=

5

2

x+7（-4≤x≤-2），
代入拋物線解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，
令△=0得，（5-2m）²-4（m²+3m+14）=0，
解得：m=-

31

32

，
∴

-11+ 41

2

≤m≤-

31

32

．