Question

（2012•吉林）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動點P從點A出發，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設點P的運動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．
（1）當t=

1

s時，點P與點Q重合；
（2）當t=

4

5

s時，點D在QF上；
（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）當點P與點Q重合時，此時AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；
（2）當點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．由相似三角形比例線段關系可得PQ=

1

2

t，從而由關系式AP+PQ+BQ=AB=2，列一元一次方程求出t的值；
（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，運動過程可以劃分為兩個階段：
①當1＜t≤

4

3

時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．先計算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S；
②當

4

3

＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．面積S由關系式“S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN”求出．

解答：解：（1）當點P與點Q重合時，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．

（2）當點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=

1

2

DP=

1

2

AP=

1

2

t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+

1

2

t+t=2，解得：t=

4

5

．
故填空答案：

4

5

．

（3）當P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；
當D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=

1

2

t，求得t=

4

3

s，進一步分析可知此時點E與點F重合；
當點P到達B點時，此時t=2．
因此當P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，其運動過程可分析如下：
①當1＜t≤

4

3

時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．
此時AP=BQ=t，∴AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2（2-t）-t=4-3t，EG=

1

2

EF=2-

3

2

t，
∴DG=DE-EG=t-（2-

3

2

t）=

5

2

t-2．
S=S_梯形PDGQ=

1

2

（PQ+DG）•PD，
=

1

2

[（2t-2）+（

5

2

t-2）]•t，
=

9

4

t²-2t；
②當

4

3

＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．
此時AP=BQ=t，∴AQ=PB=2-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4-2t，PM=4-2t．
又∵DM=DP-PM=t-（4-2t）=3t-4，
∴DN=

1

2

（3t-4）=

3

2

t-2，DM=3t-4．
S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN=AP²-

1

2

AQ•AF-

1

2

DN•DM
=t²-

1

2

（2-t）（4-2t）-

1

2

×

1

2

（3t-4）×（3t-4）
=-

9

4

t²+10t-8．
綜上所述，當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，S與t之間的函數關系式為：
S=

9 4 t2-2t(1＜t≤ 4 3 ) - 9 4 t2+10t-8( 4 3 ＜t＜2)

．

點評：本題是運動型綜合題，涉及到動點與動線問題．第（1）（2）問均涉及動點問題，列方程即可求出t的值；第（3）問涉及動線問題，是本題難點所在，首先要正確分析動線運動過程，然后再正確計算其對應的面積S．本題難度較大，需要同學們具備良好的空間想象能力和較強的邏輯推理能力．