Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，BD與AC相交于E點，AE＝CE，BC＝AC＝DC，則tan∠ABDtan∠ADB＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由BC＝AC＝DC知A、B、D在以C為圓心的圓上，延長AC交⊙C于點F，連接DF、BF，由圓周角定理知∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，證△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得＝、＝，從而由tan∠ABDtan∠ADB＝tan∠AFDtan∠AFB＝＝＝＝可得答案．

解：∵BC＝AC＝DC，

∴點A、B、D在以C為圓心的圓上，

如圖所示，延長AC交⊙C于點F，連接DF、BF、

則∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，

∵∠AEB＝∠DEF、∠AED＝∠BEF，

∴△ABE∽△DFE，△ADE∽△BFE，

∴、，

則tan∠ABDtan∠ADB＝tan∠AFDtan∠AFB

＝

＝

＝

＝，

設AE＝CE＝x，則AC＝CF＝2x，

∴AF＝4x，

∴EF＝AF﹣AE＝3x，

則tan∠ABDtan∠ADB＝＝，

故答案為：．