Question

【題目】如圖，在邊長為5的正方形中，以B為圓心，BA為半徑作弧AC，F為弧AC上一動點，過點F作⊙B的切線交AD于點P，交DC于點Q．

（1）求證：PQ＝AP+CQ；

（2）分別延長PQ、BC，延長線相交于點M，如果AP＝2，求BM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用切線長定理得到PA＝PF，QF＝QC，從而得到PQ＝PF+QF＝AP+CQ；

（2）設CQ＝x，則PD＝3，PQ＝2+x，DQ＝5﹣x，利用勾股定理得到32+（5﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝，則DQ＝5﹣x＝，然后證明△CQM∽△DQP，利用相似比求出CM即可得到BM的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，DA＝DC，

∵⊙B的切線交AD于點P，

∴PA＝PF，QF＝QC，

∴PQ＝PF+QF＝AP+CQ；

（2）解：設CQ＝x，

∵AP＝2，AD＝CD＝5，

∴PD＝3，PQ＝2+x，DQ＝5﹣x，

在Rt△PQD中，32+（5﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝，

∴DQ＝5﹣x＝，

∵PD∥CM，

∴△CQM∽△DQP，

∴＝，即＝，解得CM＝，

∴BM＝BC+CM＝5+＝．