Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，D、E分別為射線CB、AC上的兩動點，且BD＝CE，直線AD和BE相交于M點，則CM的最大值為（　　）

A.2B.C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先證明∠AMB＝60°，推出點M的運動軌跡是圖中紅線（在△ABM的外接圓⊙J上），連接CJ，延長CJ交⊙J 于N，當點M與N重合時，CM的值最大．

如圖，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA＝CB，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ABD＝∠BCE＝120°，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠D＝∠E，

∵∠DBM＝∠EBC，

∴∠DMB＝∠BCE＝120°，

∴∠AMB＝60°，

∴點M的運動軌跡是圖中紅線（在△ABM的外接圓⊙J上），

連接CJ，延長CJ交⊙J 于N，當點M與N重合時，CM的值最大，

在Rt△JCB中，BJ＝BCtan30＝，JC＝2BJ＝，

∴CN＝+＝4，

∴CM的最大值為4，

故選：D．