Question

【題目】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊中點，∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F

（1）當點E在AC邊上時（如圖1），求證CE=BF

（2）在（1）的條件下，求證：

（3）當∠EDF繞D點旋轉到圖3的位置即點E、F分別在AC、CB邊的延長線上時，上述（2）結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析.

【解析】

（1）由題意證明四邊形ECFD為矩形，△DFE中DF=FB，從而求解即可；（2）在圖1，圖2中分別進行證明，在圖1中證明四邊形CEDF是正方形，邊長是AC的一半，即可得出結論；在圖2中利用三角形全等的判定證明△CDE≌△BDF，利用中線的性質得到，從而得到；（3）不成立；同（2），在圖3中得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF-S△CFE=S△ABC．．

解：

（1）由圖可知：

∴四邊形ECFD是矩形

∴EC=DF，∠DFB=90°

∵Rt△ABC中，AC=BC，

∴

∴DF=FB

∴DE=DF

∴CE=BF

（2）如圖1，

∵D是AB的中點

∴AD=BD

由（1）可知

∴△AED≌△DFB

∴DE=DF

∴四邊形CEDF是正方形．設△ABC的邊長AC=BC=a，則正方形CEDF的邊長為a．

∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2

即S△DEF+S△CEF=S△ABC；

如圖2所示：連接CD；

∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB中點，

∴∠B=45°，∠DCE=∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AB=BD，

∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，

∵∠EDF=90°，

∴∠1=∠2，

在△CDE和△BDF中， ，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴

又∵D為AB中點，

∴

∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=S△ABC；

（3）不成立；S△DEF-S△CEF=S△ABC；理由如下：連接CD，

如圖3所示：

同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°

∴S△DEF=S五邊形DBFEC，

=S△CFE+S△DBC，

=S△CFE+S△ABC，

∴S△DEF-S△CFE=S△ABC．

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC．