Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，有二次函數，頂點為，與軸交于、兩點（在左側），易證點、關于直線對稱，且在直線上．過點作直線交直線于點，、分別為直線和直線上的兩個動點，連接、、，則的最小值為________

Answer 1

【答案】8

【解析】

設=0，則可求出拋物線和x軸的交點坐標，即A和B的坐標，再把拋物線解析式配方可求出頂點H的坐標，進而求出過A和H點的直線解析式，

因為過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，所以直線BK的斜率和直線AH的相等，又過B，所以可求出直線BK的解析式，再把直線l的解析式和BK的解析式聯立，即可求出K的坐標，根據點H、B關于直線AK對稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

設=0，

解得x1=-3，x2=1，

∵B點在A點右側，

∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），

∵=-（x+1）2+2，

∴頂點H的坐標是（-1，2），

設直線AH的解析式為y=kx+b，把A和H點的坐標代入求出k=，b=3，

∵過點B作直線BK∥AH，

∴直線BK的解析式為y=mx+n中的m=，

又因為B在直線BK上，代入求出n=-，

∴直線BK的解析式為：y=x-，

聯立，

解得：，

∴交點K的坐標是（3，2），

則BK=4，

∵點H、B關于直線AK對稱，K（3，2），

∴HN+MN的最小值是MMB，KD=KE=2，

過K作KD⊥x軸于D，作點K關于直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，KD=KE=2，

則QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，

∴根據兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB==8，

∴HN+NM+MK的最小值為8．

答：HN+NM+MK和的最小值是8．

故答案為：8．