Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點，與軸的另一交點為點．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點為直線下方拋物線上一動點．

①如圖2所示，直線交線段于點，求的最小值；

② 如圖3所示，連接過點作于，是否存在點，使得中的某個角恰好等于的2倍？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當時，的最小值為；②存在，點M的坐標為或（4，-6）．

【解析】

（1）解：在直線，分別令，.可得A(8，0)、B(0，4)，將A(8，0)、B(0，4)代入，解得b、c的值再代入即可解答.

（2）解：①如圖1，過C作∥軸交直線AB于點E，過M作∥軸交直線AB于點F.可得CE∥MF，求出直線AB的解析式，進而求出C,E的坐標，即可求出答案；

②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°，又于，即∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在圖2中，取AC中點H，連接BH，可得∠BHO=2∠BAC，，過D作DT軸于T，過M作MGTD交其延長線于G.可證△TBD∽△GDM，再根據三角函數得出當∠BMD=2∠BAC時，，∠MBD=2∠BAC時，，設（），則，，當∠BMD=2∠BAC時，，又，即可得出，當∠MBD=2∠BAC時，，，即可求出M的坐標

（1）解：在直線，分別令，.可得A(8，0)、B(0，4)，

將A(8，0)、B(0，4)代入有

解得：

∴

（2）解：①如圖1，過C作∥軸交直線AB于點E，過M作∥軸交直線AB于點F.可得CE∥MF，

∴

設，

∵MF∥軸交直線AB于點F，直線AB：

∴，則

可求得C(2，0)，C作CE∥y軸交直線AB于點E，

∴E(2，5)，CE=5.

∴，

∴當時，的最小值為.

②存在.

理由如下：∵C(2，0)；B(0，4)；A(8，0)．

∴OC=2，OB=4，OA=8

可證△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°，又于

∴∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在圖2中，取AC中點H，連接BH，可得∠BHO=2∠BAC，

OH=OAAH=3，tan∠BHO=.

過D作DT軸于T，過M作MGTD交其延長線于G.

可證△TBD∽△GDM，

又DMAB， tan∠DMB=，tan∠DBM=.

當∠BMD=2∠BAC時，∴，

∠MBD=2∠BAC時，，

設（），

則，

∴

當∠BMD=2∠BAC時，，又，

∴

解之得，，又0 < m < 8，

∴，點M的坐標為.

當∠MBD=2∠BAC時，

又，

∴

解之得，，又0<m<8，

∴，點M的坐標為

綜合得存在滿足條件的點M的坐標為或（4，-6）