Question

【題目】如圖①，已知線段和直線，用直尺和圓規在上作出所有的點，使得，如圖②，小明的作圖方法如下：

第一步：分別以點，為圓心，長為半徑作弧，兩弧在上方交于點；

第二步：連接，；

第三步：以為圓心，長為半徑作，交于，；

所以圖中，即為所求的點.

（1）在圖②中，連接，，說明；

（方法遷移）

（2）如圖③，用直尺和圓規在矩形內作出所有的點，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（深入探究）

（3）已知矩形，，，為邊上的點，若滿足的點恰有兩個，求的取值范圍.

（4）已知矩形，，，為矩形內一點，且，若點繞點逆時針旋轉到點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2≤m＜+1；（4）．

【解析】

（1）先根據等邊三角形得：∠AOB=60°，則根據圓周角定理可得：∠AP1B=30°；
（2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圓，可得圓心角∠BOC=90°，則弧BC所對的圓周角都是45°；
（3）先確定⊙O，根據同弧所對的圓周角相等可得AD在四邊形GEFH內部時符合條件；
（4）先確定⊙O，根據圓周角定理正確畫出∠BPC=135°，利用勾股定理求OF的長，知道A、P、O在同一直線上時，AP最小，則PQ的值最小，求AE的長，即是AP的長，可得PQ的最小值．

解：（1）∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
由題意得：∠AP1B=∠AOB=30°；
（2）如圖，①以B、C為圓心，以BC為半徑作圓，交AB、DC于E、F，

②作BC的中垂線，連接EC，交于O，
③以O為圓心，OE為半徑作圓，
則弧EF上所有的點（不包括E、F兩點）即為所求；
（3）如圖④，同理作⊙O，

∵BE=BC=2，
∴CE=2，
∴⊙O的半徑為，即OE=OG=，
∵OG⊥EF，
∴EH=1，
∴OH=1，
∴GH=-1，
∴BE≤AB＜MB，
∴2≤m＜2+-1，即2≤m＜+1，
故答案為：2≤m＜+1；
（4）如圖⑤，構建⊙O，使∠COB=90°，在弧BC上取一點H，則∠CHB=45°
∴∠CPB=135°，
由旋轉得：△APQ是等腰直角三角形，
∴PQ=AP，
∴PQ取最小值時，就是AP取最小值，
當P與E重合時，即A、P、O在同一直線上時，AP最小，則PQ的值最小，
在Rt△AFO中，AF=1，OF=3+1=4，
∴AO=，
∴AE==AP，
∴PQ=AP=（）=．
故答案為：．