Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三點．

（1）求拋物線的解析式及點D坐標；

（2）點M是拋物線對稱軸上一動點，求使BM－AM的值最大時的點M的坐標；

（3）如圖2，將射線BA沿BO翻折，交y軸于點C，交拋物線于點N，求點N的坐標；

(4)在（3）的條件下，連結ON,OD，如圖2，請求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）

∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x．

∴D點的坐標為（2，﹣2）．    （2）設直線AB解析式為：y=kx+m,     將 A（3，0）、B（4，4）代人解得

直線AB解析式為：y=4x-12,  拋物線對稱軸為x=

當x=時，y=-6,  ∴當點M（，-6）時，BM-AM的值最大。∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

根據軸對稱性質得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，OB=OB, ∴⊿AOB≌⊿COB,

∴OC=OA,  ∴點C（0，3） 

設直線CB的解析式為y=kx+3，過點（4，4），

∴直線CB的解析式是y=，

∵點N在直線CB上，

∴設點N（n，），又點N在拋物線y=x²﹣3x上，

∴=n²﹣3n，解得：n₁=﹣，n₂=4（不合題意，舍去）∴N點的坐標為（﹣，）．

（4）方法一：如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，則N₁（，），

B₁（4，﹣4），∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，

∴△P₁OD∽△N₁OB₁，∴，  ∴點P₁的坐標為（，）．將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（，），

綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）

方法二：如圖2，將△NOB繞原點順時針旋轉90°，得到△N₂OB₂，

則N₂（，），B₂（4，﹣4），∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₂OB₂，∴△P₁OD∽△N₂OB₂，

∴，∴點P₁的坐標為（，）．

將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（，），

綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）．