Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60．動點M、N分別以每秒1個單位的速度從點A、D同時出發，分別沿A→O→D和D→A運動，當點N到達點A時，M、N同時停止運動．設運動時間為t秒．

（1）求菱形ABCD的周長；
（2）記△DMN的面積為S，求S關于t的解析式，并求S的最大值；
（3）當t=30秒時，在線段OD的垂直平分線上是否存在點P，使得∠DPO=∠DON？若存在，這樣的點P有幾個？并求出點P到線段OD的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。
∴菱形ABCD的周長為200。
（2）過點M作MP⊥AD，垂足為點P．
①當0＜t≤40時，如答圖1，

∵，
∴MP=AM•sin∠OAD=t。
S=DN•MP=×t×t=t²。
②當40＜t≤50時，如答圖2，MD=70﹣t，

∵，
∴MP=（70﹣t）。
∴S_△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t²+28t=（t﹣35）²+490。
∴S關于t的解析式為。
當0＜t≤40時，S隨t的增大而增大，當t=40時，最大值為480；
當40＜t≤50時，S隨t的增大而減小，最大值不超過480。
綜上所述，S的最大值為480。
（3）存在2個點P，使得∠DPO=∠DON。
如答圖3所示，過點N作NF⊥OD于點F，

則NF=ND•sin∠ODA=30×=24，
DF=ND•cos∠ODA=30×=18。
∴OF=12。∴。
作∠NOD的平分線交NF于點G，過點G作GH⊥ON于點H，
則FG=GH。
∴S_△ONF=OF•NF=S_△OGF+S_△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG。
∴。
∴。
設OD中垂線與OD的交點為K，由對稱性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG，
∴。
∴PK=。
根據菱形的對稱性可知，在線段OD的下方存在與點P關于OD軸對稱的點P′。
∴存在兩個點P到OD的距離都是

試題分析：（1）根據勾股定理及菱形的性質，求出菱形的周長。
（2）在動點M、N運動過程中：①當0＜t≤40時，如答圖1所示，②當40＜t≤50時，如答圖2所示．分別求出S的關系式，然后利用二次函數的性質求出最大值。
（3）如答圖3所示，在Rt△PKD中，DK長可求出，則只有求出tan∠DPK即可，為此，在△ODM中，作輔助線，構造Rt△OND，作∠NOD平分線OG，則∠GOF=∠DPK。在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，從而問題解決。
另解：答圖4所示，作ON的垂直平分線，交OD的垂直平分線EF于點I，連接結OI，IN，過點N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分別為G，H。

當t=30時，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴，即。
∴NG=24，DG=18。
∵EF垂直平分OD，∴OE=ED=15，EG=NH=3。
設OI=R，EI=x，則
在Rt△OEI中，有R²=15²+x²       ①
在Rt△NIH中，有R²=3²+（24﹣x）²    ②
由①、②可得：。
∴PE=PI+IE=。
根據對稱性可得，在BD下方還存在一個點P′也滿足條件。
∴存在兩個點P，到OD的距離都是。