Question

（2013年四川眉山11分）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，點C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，直線AD與拋物線交于另一點M．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一動點，E為直線AD上一動點，是否存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移個單位后得到的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）根據題意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∵拋物線經過點A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x﹣3。
（2）存在。△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：
①以點A為直角頂點，
如圖，過點A作直線AD的垂線，與拋物線交于點P，與y軸交于點F。

∵OA=OD=1，∴△AOD為等腰直角三角形。
∵PA⊥AD，∴△OAF為等腰直角三角形。
∴OF=1，F（0，﹣1）。
設直線PA的解析式為y=kx+b，
將點A（1，0），F（0，﹣1）的坐標代入得：
，解得。
∴直線PA的解析式為y=x﹣1。
將y=x﹣1代入拋物線解析式y=x²+2x﹣3得
x²+2x﹣3=x﹣1，整理得：x²+x﹣2=0，
解得x=﹣2或x=1。
當x=﹣2時，y=x﹣1=﹣3。∴P（﹣2，﹣3）。
②以點P為直角頂點，
此時∠PAE=45°，因此點P只能在x軸上或過點A與y軸平行的直線上。
過點A與y軸平行的直線，只有點A一個交點，故此種情形不存在；
因此點P只能在x軸上，而拋物線與x軸交點只有點A、點B，故點P與點B重合，
∴P（﹣3，0）。
③以點E為直角頂點，
此時∠EAP=45°，由②可知，此時點P只能與點B重合，點E位于直線AD與對稱軸的交點上。
綜上所述，存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形。
點P的坐標為（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）。
（3）y==x²+4x+1。

（1）應用待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形，需要分類討論：
①以點A為直角頂點．過點A作直線AD的垂線，與拋物線的交點即為所求點P．首先求出直線PA的解析式，然后聯立拋物線與直線PA的解析式，求出點P的坐標；
②以點P為直角頂點．此時點P只能與點B重合；
③以點E為直角頂點．此時點P亦只能與點B重合。
（3）拋物線的解析式為：y=x²+2x﹣3=（x+1）²﹣4，
∵拋物線沿射線AD方向平移個單位，相當于向左平移1個單位，并向上平移一個單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y=（x+1+1）²﹣4+1=x²+4x+1。