Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最小？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經過點A（1，0），點C（4，3），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為y=x²﹣4x+3。
（2）存在。
∵點A、B關于對稱軸對稱，∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小。
∵y=x²﹣4x+3=（x﹣2）²﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線x=2。
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得：。
∴直線AC的解析式為y=x﹣1。
當x=2時，y=2﹣1=1。
∴拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最小。
（3）如圖，設過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m，

聯立，消掉y得，x²﹣5x+3﹣m=0。
由△=（﹣5）²﹣4×1×（3﹣m）=0得m=。
∴m=時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大。
此時x=，y=。
∴點E的坐標為（，）。
設過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0）。
∴AF=。
∵直線AC的解析式為y=x﹣1，∴∠CAB=45°。
∴點F到AC的距離為。
又∵。
∴△ACE的最大面積，此時E點坐標為（，）。

試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式解答即可。
（2）利用待定系數法求出直線AC的解析式，然后根據軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D。
（3）根據直線AC的解析式，設出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯立消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解。