Question

【題目】如圖1，等腰△ABC中，AC=BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓與AC相切于點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G．

（1）求證：D是弧EC的中點；

（2）如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點K，連接CF，求證：CF=OK+DO；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長DB交⊙O于點Q，連接QH，若DO=，KG=2，求QH．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】(1)如圖1中,連接OC,根據等角的余角相等,證明即可.

(2)如圖2中,連接OC,首先證明,再證明點K在以F為圓心FC為半徑的圓上即可解決問題;

(3)如圖3中,連接OC、作HM⊥AQ于M.設OK=x,則CF= ,OG=2-x,GF=,根據CG2=CF2-FG2=CO2-OG2,列出方程求出x,再想辦法求出HM、MQ即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，連接OC．

∵AC是⊙O的切線，

∴OC⊥AC，

∴∠ACO=90°，

∴∠A+∠AOC=90°，

∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵EF⊥BC，

∴∠OGB=90°，

∴∠B+∠BOG=90°，

∴∠BOG=∠AOC，

∵∠BOG=∠DOE，

∴∠DOC=∠DOE，

∴點D是的中點．

（2）證明：如圖2中，連接OC．

∵EF⊥HC，

∴CG=GH，

∴EF垂直平分HC，

∴FC=FH，

∵∠CFK=∠COE，

∵∠COD=∠DOE，

∴∠CFK=∠COD，

∵∠CHK=∠COD，

∴∠CHK=∠CFK，

∴點K在以F為圓心FC為半徑的圓上，

∴FC=FK=FH，

∵DO=OF，

∴DO+OK=OF+OK=FK=CF，

即CF=OK+DO；

（3）解：如圖3中，連接OC、作HM⊥AQ于M．設OK=x，則CF=+x，OG=2﹣x，GF=﹣（2﹣x），

∵CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2，

∴（+x）2﹣[（2﹣x）]2=（）2﹣（2﹣x）2，

解得x=，

∴CF=5，FG=4，CG=3，OG=，

∵∠CFE=∠BOG，

∴CF∥OB，

∴==，

可得OB=，BG=，BH=，

由△BHM∽△BOG，可得==，

∴BM=，HM=，MQ=OQ﹣OB﹣BM=，

在Rt△HMQ中，QH===．