Question

【題目】如圖，在ABCD中，AC，BD交于點O，且AO＝BO．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）∠ADB的角平分線DE交AB于點E，當AD＝3，tan∠CAB＝時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

(1)由平行四邊形性質和已知條件得出AC＝BD，即可得出結論；

(2)過點E作EG⊥BD于點G，由角平分線的性質得出EG＝EA．由三角函數定義得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，設AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函數定義得出，即可得出答案．

(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AC＝2AO，BD＝2BO．

∵AO＝BO，

∴AC＝BD．

∴平行四邊形ABCD為矩形．

(2)過點E作EG⊥BD于點G，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴EA⊥AD，

∵DE為∠ADB的角平分線，

∴EG＝EA．

∵AO＝BO，

∴∠CAB＝∠ABD．

∵AD＝3，tan∠CAB＝，

∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．

∴AB＝4．

∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．

設AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，

在△BEG中，∠BGE＝90°，

∴sin∠ABD＝．

解得：x＝，

∴AE＝．

故答案為：.