Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C

（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積；
（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），

令x=0，得y=2，

∴點C坐標（0，2）

（2）

解：由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，

∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，

∴點E的橫坐標為﹣7或5，

∴點E坐標（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），此時點F（﹣1，﹣ ），∴以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積=6× =

（3）

如圖所示，

①當C為頂點時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN= = ，

∴點M1坐標（﹣1，2+ ），點M2坐標（﹣1，2﹣ ）．

②當M3為頂點時，∵直線AC解析式為y=﹣x+1，

線段AC的垂直平分線為y=x，

∴點M3坐標為（﹣1，﹣1）．

③當點A為頂點的等腰三角形不存在．

綜上所述點M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1.2﹣ ）．

【解析】（1）分別令y=0，x=0，即可解決問題．（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，易知點E坐標（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），由此不難解決問題．（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題．本題考查二次函數綜合題、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握拋物線與坐標軸交點的求法，學會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．