Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過原點，頂點為A（h，k）（h≠0）．
（1）當h=1，k=2時，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=tx2（t≠0）也經過A點，求a與t之間的關系式；
（3）當點A在拋物線y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

∵頂點為A（1，2），設拋物線為y=a（x﹣1）2+2，

∵拋物線經過原點，

∴0=a（0﹣1）2+2，

∴a=﹣2，

∴拋物線解析式為y=﹣2x2+4x

（2）

∵拋物線經過原點，

∴設拋物線為y=ax2+bx，

∵h=﹣ ，

∴b=﹣2ah，

∴y=ax2﹣2ahx，

∵頂點A（h，k），

∴k=ah2﹣2ah，

拋物線y=tx2也經過A（h，k），

∴k=th2，

∴th2=ah2﹣2ah2，

∴t=﹣a，

（3）

∵點A在拋物線y=x2﹣x上，

∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，

∴h= ，

∵﹣2≤h＜1，

∴﹣2≤ ＜1，

①當1+a＞0時，即a＞﹣1時， ，解得a＞0，

②當1+a＜0時，即a＜﹣1時， 解得a≤﹣ ，

綜上所述，a的取值范圍a＞0或a≤﹣

【解析】（1）用頂點式解決這個問題，設拋物線為y=a（x﹣1）2+2，原點代入即可．（2）設拋物線為y=ax2+bx，則h=﹣ ，b=﹣2ah代入拋物線解析式，求出k（用a、h表示），又拋物線y=tx2也經過A（h，k），求出k，列出方程即可解決．（3）根據條件列出關于a的不等式即可解決問題．本題考查二次函數綜合題、不等式等知識，解題的關鍵是學會用參數解決問題，題目比較難參數比較多，第三個問題解不等式要注意討論，屬于中考壓軸題．
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．