Question

【題目】已知△ ABC 是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，點 M 在邊 AC 上，點 N在邊 BC 上（點 M、點 N 不與所在線段端點重合），BN＝AM，連接 AN，BM．射線 AG∥BC，延長 BM 交射線 AG 于點 D，點 E 在直線 AN 上，且 AE＝DE.

（1）如圖，當∠ACB＝90°時，

①求證：△ BCM≌△ACN；

②求∠BDE 的度數；

（2）當∠ACB＝ɑ ，其它條件不變時，∠BDE 的度數是 （用含ɑ 的代數式表示）.

（3）若△ ABC 是等邊三角形，AB＝3，點 N 是 BC 邊上的三等分點，直線 ED 與直線 BC 交于點 F，請直接寫出線段 CF 的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；90°；（2）α或180－α；（3）或．

【解析】

（1）①根據SAS證明即可；

②想辦法證明∠ADE+∠ADB=90°即可；

（2）分兩種情形討論求解即可，①如圖2中，當點E在AN的延長線上時，②如圖3中，當點E在NA的延長線上時；

（3）分兩種情形求解即可，①如圖4中，當BN=BC=時，作AK⊥BC于K．解直角三角形即可．②如圖5中，當CN=BC=時，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．

（1）①如圖1．

∵CA=CB，BN=AM，∴CB﹣BN=CA﹣AM，即CN=CM．

∵∠ACN=∠BCM，∴△BCM≌△ACN．

②如圖1．

∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC=∠NAC．

∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA．

∵AG∥BC，∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠NAC，∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD=∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，∴∠BDE=90°．

（2）如圖2，當點E在AN的延長線上時．

易證：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD．

∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠ACB=α．

如圖3，當點E在NA的延長線上時．

易證：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC．

∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，∴∠BDE=180°﹣α．

綜上所述：∠BDE=α或180°﹣α．

故答案為：α或180°﹣α．

（3）如圖4，當BN=BC=時，作AK⊥BC于K，連結CD．

∵AD∥BC，∴==，∴AD=，AC=3，易證△ADC是直角三角形，則四邊形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，∴CF=NK=BK﹣BN=﹣=．

如圖5，當CN=BC=時，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．

∵AD∥BC，∴==2，∴AD=6，易證△ACD是直角三角形，由△ACK∽△CDH，可得CH=AK=，由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=，∴CF=CH﹣FH=4．

綜上所述：CF的長為或4．