Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABC的邊BC在x軸上，A，C兩點的坐標分別為A（0，m），C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+ =0．一動點P從點B出發，以每秒2單位長度的速度沿射線BO勻速運動，設點P運動的時間為ts．

（1）求A，C兩點的坐標；

（2）連接PA，若△PAB為等腰三角形，求點P的坐標；

（3）當點P在線段BO上運動時，在y軸上是否存在點Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4），C（3，0）；（2）（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）；（3）存在，當t=1秒，點Q的坐標為（0，4）或（0，﹣4）；當t=秒，點Q的坐標為（0，3）或（0，﹣3）

【解析】

（1）根據非負數的性質分別求出n、m的值，即可求得點A、C兩點的坐標；（2）分BA=BP、AB=AP、PA=PB三種情況，根據等腰三角形的性質、勾股定理計算求解即可；（3）分△QOP≌△AOC和△POQ≌△AOC兩種情況求解即可．

（1）∵（n﹣3）2+=0，

∴n﹣3=0，3m﹣12=0，

解得，n=3，m=4，

∴點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（3，0）；

（2）由勾股定理得，AB==，

當BA=BP時，點P的坐標為（﹣5，0）；

當AB=AP時，點P的坐標（5，0）；

當PA=PB時，設PA=x，則OP=5﹣x，

在Rt△AOP中，AP2=OP2+OA2，即x2=（5﹣x）2+42，

解得，x=4.1，

則OP=0.9，

∴點P的坐標（﹣0.9，0）；

綜上所述，△PAB為等腰三角形，點P的坐標為（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）；

（3）當△QOP≌△AOC時，OP=OC=3，OQ=OA=4，

∴BP=2，

則t=1秒，點Q的坐標為（0，4）或（0，﹣4）；

當△POQ≌△AOC時，OP=OA=4，OQ=OC=3，

則t=秒，點Q的坐標為（0，3）或（0，﹣3）．