Question

【題目】已知：拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，其中點B在點A的右側，且AB＝7．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點D在第一象限內拋物線上，連接CD，AD，AD交y軸于點E．設點D的橫坐標為d，△CDE的面積為S，求S與d之間的函數關系式（不要求寫出自變量d的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DH⊥CE于點H，點P在DH上，連接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求點D的坐標及相應S的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）D(4，3)，8

【解析】

（1）先求出點A，B的坐標，結合AB的長，即可得到答案；

（2）過點D作DK⊥x軸于點K，過點D作DH⊥CE于點H，設∠DAB＝α，易得，進而求出CE的長，即可求解；

（3）過點E作CE的垂線，過C作∠OCP的平分線交DE于點J，交CE的垂線于點F，過點F作ED的平行線交HD的延長線于點N，連接CN．易得∠ECF＝∠DAB=∠HDE＝∠PCF=α，設HE＝3k，CP＝5k，先證△CFN為等腰三角形，再證PC＝PN＝5k，由勾股定理得（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，可得，結合，即可求解．

（1）∵，令y＝0，則（x+2）（x﹣m）＝0，解得：，

∴A(﹣2，0)，B(m，0)，

∵AB＝7，

∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，

∴；

（2）過點D作DK⊥x軸于點K，過點D作DH⊥CE于點H，設∠DAB＝α，

∵點D在第一象限內拋物線上，點D的橫坐標為d，

∴，

∴，

∵C(0，5)，

∴EO＝AOtanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，

∴；

（3）過點E作CE的垂線，過C作∠OCP的平分線交DE于點J，交CE的垂線于點F，過點F作ED的平行線交HD的延長線于點N，連接CN．

∵EF⊥CE，DH⊥CE，

∴EF∥DH∥AB，

∵設∠DAB＝α，∠OCP＝2∠DAB，CF平分∠OCP，

∴∠ECF＝∠DAB=∠HDE＝∠PCF=α，

∵HE：CP＝3：5，

∴設HE＝3k，CP＝5k，

由（2）可知：CE＝HD＝d，

又∵∠CEF＝∠CHD＝90°，

∴△CEF≌△DHE（ASA），

∴EF＝HE，CF＝DE，

∵EF∥DN，NF∥DE，

∴四邊形EDNF為平行四邊形，

∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∠DNF=∠DEF=α，

∴△CFN為等腰三角形，

∴∠FCN＝∠FNC，

∴∠PCN＝∠FCN-α=∠FNC-α=∠PNC，

∴PC＝PN＝5k，

∴PD＝2k，

∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，

∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，

∴(d﹣6k)(d+k)＝0，

∴d＝6k，

∴在Rt△DHE中，，

由（2）知，

∴．

∴d＝4，

∴D(4，3)，．