Question

【題目】如圖1，直線與相交于，兩點，是的直徑，是上一點，于點，連結，且平分.

(1)求證：是的切線；

(2)若，，求的半徑；

(3)如圖2，在(2)的條件下，點為上一動點，連接，，，問：線段，，之間存在什么數量關系？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)的半徑為；(3).

【解析】

（1）由OA=OD得∠OAD=∠ODA，由AD平分∠CAM得∠OAD=∠DAE，則∠ODA=∠DAE，所以DO∥AB，利用DE⊥AB得到DE⊥OD，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連結DC，先利用勾股定理計算出AD長，由AC是⊙O直徑得到∠ADC=90°，易證得△ACD∽△ADE，利用相似比可計算出AC，即可得到圓的半徑；

（3）可得結論PC=PD+PB，連接PB、DB，在CP上截取PB=PF，連接BF、BC，可證△PBF為等邊三角形，再證△PBD≌△FBC，即可得結論．

解：(1)連結，如圖，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴.

∴，

∵，

∴，

∴是的切線；

(2)∵，，.

∴，

連結，

∵是的直徑，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

解得.

∴的半徑為.

(3).

理由：連接、，延長至點，使，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵四邊形內接于，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，

∴.