Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點、點，與軸交于點，頂點的橫坐標為，對稱軸交軸交于點，交與點 .

（1）求頂點的坐標；

（2）如圖2所示，過點的直線交直線于點，交拋物線于點.

①若直線將分成的兩部分面積之比為，求點的坐標；

②若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）的坐標為．

【解析】

（1）將點A坐標代入函數關系式可得a與b 的方程，再根據頂點的橫坐標為可得另一個關于a和b的方程，聯立方程組求解即可得到a和b的值，進而求得拋物線的函數關系式，再將頂點的橫坐標代入即可求得點D坐標；

（2）①如圖，取得三等分點，過點分別作x軸，y軸的平行線分別交DE、x軸于點G、H、P、Q，通過證相似三角形可得點M的橫縱坐標與點B、D的橫縱坐標之間的數量關系，進而得解；

（3）取線段的中點，連接GM，由中點坐標可得，根據等腰三角形的三線合一可得GM⊥BC，在根據兩條直線互相垂直可求得，與聯立方程組可求得點M的坐標，再由利用待定系數法可得，最后將與聯立方程組即可求得點N的坐標．

解：（1）將代入可得①

∵頂點的橫坐標為，

∴，即②

聯立①②解得

∴

當時，

（2）由（1）得

當y=0時，x1=-1，x2=3，

∴B（3,0），即BO=3，

如圖，取的三等分點，過點分別作x軸，y軸的平行線分別交DE、x軸于點G、H、P、Q，

則可得△DGM1∽△DHM2∽△DEB，△BQM2∽△BPM1∽△BED，且相似比為1:2:3，

∴

同理可得：

∴點的坐標為：，

（3）

取線段的中點，作直線GM，

∵點B（3,0），點C（0，3）

∴中點G的坐標為

∵，點G為線段的中點，

∴GM⊥BC，

∴設直線GM為y=x+m

將代入得m=0，

∴①

設直線BD為y=kx+n

將坐標代入得k=-2，n=6，

∴②

聯立①②可得

∴

設直線MC為y=k2x+n2

將坐標代入得k2=，n2=3，

∴③

聯立③與可得

∴

故的坐標為.