Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸、y軸的交點分別為A、，將對折，使點O的對應點H恰好落在直線AB上，折痕交x軸于點C，

求過A、B、C三點的拋物線解析式；

若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

若點Q是拋物線上一個動點，使得以A、B、Q為頂點并且以AB為直角邊的直角三角形，直接寫出Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線BC上不存在符合題意的點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形；（3）、

【解析】試題分析：

（1）由OB=3，tan∠OAB=，∠AOB=90°，可得AO=4，即點A的坐標為（4，0）由此可得AB=5；由題意可知BC平分∠ABO，從而可得OC：AC=OB：AB=3：5，從而可得OC=1.5，即點C的坐標為（1.5，0），再用“待定系數法”即可求得拋物線的解析式；

（2）把（1）中所得解析式配方可得點D的坐標，由B、C兩點坐標可求得BC的解析式，設點E為OA中點，則可得點E的坐標為（2，0），若四邊形ODAP是平行四邊形，則點D和點P關于點E對稱，由此可得點P的坐標，將所得的點P的坐標代入BC的解析式檢驗，看點P是否在直線BC上，即可得到結論；

（3）過點A、B分別作AB的垂線，由AB的解析式求出兩條垂線的解析式，把兩解析式分別和拋物線的解析式組合得到列方程組，解方程組即可求得點Q的坐標.

試題解析：

（1）如圖，∵OB=3，tan∠OAB=，∠AOB=90°，

∴OA=4，AB=，

∵由題意可知BC平分∠ABO，

∴OC：AC=OB：AB=3：5，

∴OC==1.5，

∴點A、B、C的坐標分別為（4，0），（0，3），（1.5，0），

∴可設拋物線解析式為，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為：，即；

（2）∵，

∴點D的坐標為 ，

設點E為OA的中點，則點E的坐標為（2，0），若四邊形ODAP是平行四邊形，則點P和點D關于E點對稱，由此可得點P的坐標為，

∵直線BC過點B（0，3）和點C（1.5，0），

∴直線BC的解析式為，

∵在中，當時，，

∴點P不在直線BC上，

∴直線BC上不存在點P使四邊形ODAP為平行四邊形；

（3）過點A作直線l1⊥AB，過點B作直線l2⊥AB，

∵點A、B的坐標分別為（4，0）和（0，3），

∴直線AB的解析式為：，

∴可得：直線l1的解析式為：，直線l2的解析式為：，

由 解得： ， ；

由 解得： ；

∵點Q不能與點A和點B重合，

∴點Q的坐標為 、.