Question

【題目】如圖（1），拋物線與x軸交于A（1，0）、B（t，0）（t >0）兩點，與y軸交于點C（0，3），若拋物線的對稱軸為直線x=1，

（1）求拋物線的函數解析式；

（2 若點D是拋物線BC段上的動點，且點D到直線BC的距離為，求點D的坐標

（3）如圖（2），若直線y=mx+n經過點A，交y軸于點E（0，1），點P是直線AE下方拋物線上一點，過點P作x軸的垂線交直線AE于點M，點N在線段AM延長線上，且PM=PN，是否存在點P，使△PMN的周長有最大值？若存在，求出點P的坐標及△PMN的周長的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x22x3；（2）點D的坐標為（1，4）或（2，3）；（3）P點坐標為（，），△PMN的周長的最大值為.

【解析】

(1)先根據對稱軸和已知點A得出該點的對稱點，再設出拋物線的表達式，將C點坐標再代入便可求得拋物線的解析式.

(2)設D點的坐標，根據三角形BCD的面積即可求出D點的坐標.

先根據A、E點求出直線y=mx+n,根據直線可知OA=OE,則∠OAE=∠OEA=45°,又根據MP∥EC,可知∠PMN=∠CEM=∠OEA=45°,又PM=PN,故△PMN是個等腰直角三角形，面積是（）PM，設M點的坐標為（k，-k-1），則，則當時，PM的長有最大值. 此時P點坐標為（，），△PMN的周長的最大值為

（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

則點A（1，0）關于直線x=1的對稱點B的坐標為（3，0），

設拋物線的表達式為y=a（x3）（x+1），

將點C（0，3）代入上式得3a=-3，

解得：a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x3）（x+1）=x22x3；

（2）∵點B（3，0）、C（0，-3），

則BC=3，

∴S△BCD===3，

設D（x，x22x3），連接OD，

∴S△BCD=S△OCD+S△BODS△BOC

=3x+3（x2+2x+3）×3×3

==3

解得x=1或x=2

則點D的坐標為（1，4）或（2，3）

（3）設直線AE解析式為，將點A（1，0）、E（0，1）代入，得

解得：

則直線AE解析式為

∵OA=OE=1，則∠OAE=∠OEA=45°，

又∵PM∥y軸，

∴∠PMN=∠CEN=∠AEO=45°

∵PM=PN

∴∠PMN=∠PNM =45°

∴

∴

設M（k，k1），P（k，）

∴PM==

∴當k=時，PM的長有最大值為

∴P點坐標為（，），△PMN的周長的最大值為