Question

【題目】小華的爸爸要用一塊矩形鐵皮加工出一個底面半徑為，高為的錐形漏斗，要求只能有一條接縫（接縫忽略不計）

你能求出這個錐形漏斗的側面展開圖的圓心角嗎？

如圖，有兩種設計方案，請你計算一下，哪種方案所用的矩形鐵皮面積較少？

Answer 1

【答案】（1）120°（2）方案二所用的矩形鐵皮面積較少

【解析】

（1）先根據勾股定理求出母線長為60，然后根據圓錐側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式計算錐形漏斗的側面展開圖的圓心角；（2）如圖1，矩形的一邊長等于母線長60，再利用含30度的直角三角形三邊的關系計算出OB，從而得到BC長，再計算矩形ABCD的面積；如圖2，矩形的一邊長等于母線長60，再利用含30°的直角三角形三邊的關系計算出OF，從而得到CG長，再計算矩形EFGH的面積，然后比較兩矩形的面積即可．

圓錐的母線長，

設這個錐形漏斗的側面展開圖的圓心角為，

所以，解得，

即這個錐形漏斗的側面展開圖的圓心角為；如圖，，，

在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∴方案一所需的矩形鐵皮的面積，

如圖，，，

在中，∵，

∴，

∴，

∴方案二所需的矩形鐵皮的面積，

∴方案二所用的矩形鐵皮面積較少．