Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點，D為BC延長線一點，且BC=CD，CE⊥AD于點E．

（1）求證：直線EC為圓O的切線；

（2）設BE與圓O交于點F，AF的延長線與CE交于點P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）說明OC是△BDA的中位線，利用中位線的性質，得到∠OCE=∠CED=90°，從而得到CE是圓O的切線．

（2）利用直徑上的圓周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，從而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值．

（1）證明：∵CE⊥AD于點E

∴∠DEC=90°，

∵BC=CD，

∴C是BD的中點，又∵O是AB的中點，

∴OC是△BDA的中位線，

∴OC∥AD

∴∠OCE=∠CED=90°

∴OC⊥CE，又∵點C在圓上，

∴CE是圓O的切線．

（2）連接AC

∵AB是直徑，點F在圓上

∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA

∵∠EPF=∠EPA

∴△PEF∽△PAE

∴PE2=PF×PA

∵∠FBC=∠PCF=∠CAF

又∵∠CPF=∠CPA

∴△PCF∽△PAC

∴PC2=PF×PA

∴PE=PC

在直角△PEF中，sin∠PEF=．