Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(a－1，a＋b)，B(a，0)，且|a＋b－3|＋(a－2b)2＝0，C為x軸上點B右側的動點，以AC為腰作等腰三角形ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直線DB交y軸于點P.

(1)求證：AO＝AB；

(2)求證：△AOC≌△ABD；

(3)當點C運動時，點P在y軸上的位置是否發生改變，為什么？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）點P在y軸上的位置不發生改變

【解析】試題分析：（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，作AE⊥OB于點E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根據全等三角形的性質即可得出結論；
（2）先根據∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；
（3）設∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性質可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的長度不變，故可得出結論．

試題解析：

(1)證明：∵|a＋b－3|＋(a－2b)2＝0，

∴

解得

∴A(1，3)，B(2，0)．

作AE⊥OB于點E，

∵A(1，3)，B(2，0)，

∴OE＝1，BE＝2－1＝1，

在△AEO與△AEB中，

∵

∴△AEO≌△AEB，

∴OA＝AB.

(2)證明：∵∠CAD＝∠OAB，

∴∠CAD＋∠BAC＝∠OAB＋∠BAC，

即∠OAC＝∠BAD.在△AOC與△ABD中，

∵

∴△AOC≌△ABD.

(3)點P在y軸上的位置不發生改變．理由：

設∠AOB＝α.∵OA＝AB，

∴∠AOB＝∠ABO＝α.

由(2)知，△AOC≌△ABD，

∴∠ABD＝∠AOB＝α.

∵OB＝2，∠OBP＝180°－∠ABO－∠ABD＝180°－2α為定值，∠POB＝90°，

易知△POB形狀、大小確定，

∴OP長度不變，

∴點P在y軸上的位置不發生改變．