Question

【題目】問題情景：

如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數．

小明的思路是：

過點P作PE//AB，

∴∠PAB+∠APE=180°．

∵∠PAB=130°，∴∠APE=50°

∵AB//CD，PE//AB，∴PE//CD，

∴∠PCD+∠CPE=180°．

∵∠PCD=120°，∴∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

問題遷移：

如果AB與CD平行關系不變，動點P在直線AB、CD所夾區域內部運動時，∠PAB，∠PCD的度數會跟著發生變化．

（1）如圖3，當動點P運動到直線AC右側時，請寫出∠PAB，∠PCD和∠APC之間的數量關系？并說明理由．

（2）如圖4，AQ，CQ分別平分∠PAB，∠PCD，那么∠AQC和角∠APC有怎擇的數量關系？

（3）如圖5，點P在直線AC的左側時，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，請直接寫出∠AQC和角∠APC的數量關系 ．

Answer 1

【答案】(1) ∠PAB+∠PCD=∠APC．(2)∠AQC=∠APC;(3) 2∠AQC+∠APC=360°．

【解析】分析：（1）過點P作PF∥AB，由平行線的傳遞性得到PF∥CD，再由兩直線平行，內錯角相等即可得出結論；

（2）由（1）的結論得到∠PAB+∠PCD=∠APC， ∠QAB+∠QCD=∠AQC，再由角平分線的性質即可得到結論；

（3）由（1）得：∠BAQ+∠CDQ=∠AQC．再由角平分線的性質得到∠PAQ+∠PCQ=∠AQC，根據四邊形內角和為360°即可得到結論．

詳解：（1）∠PAB+∠PCD=∠APC．

理由：如圖3，過點P作PF∥AB，∴∠PAB=∠APF．

∵AB∥CD，PF∥AB，∴PF∥CD，

∴∠PCD=∠CPF，∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，

即∠PAB+∠PCD=∠APC．

（2）．

理由：如圖4．

∵AQ，CQ分別平分∠PAB，∠PCD，

∴∠QAB=∠PAB，∠QCD=∠PCD，

∴∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=（∠PAB+∠PCD），

由（1），可得∠PAB+∠PCD=∠APC，

∠QAB+∠QCD=∠AQC

∴∠AQC=∠APC．

（3）2∠AQC+∠APC=360°．理由如下：

由（1）得：∠BA Q+∠CDQ=∠AQC．

∵AQ平分∠PAB，CQ平分∠PCD，∴∠PAQ=∠BAQ，∠PCQ=∠DCQ，∴∠PAQ+∠PCQ=∠AQC．

∵∠PAQ+∠PCQ+∠AQC+∠APC=360°，∴∠APC+2∠AQC=360°．