Question

已知：如圖，BD為⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．

（1）求證：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的長；
（3）延長DB到F，使BF＝OB，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明∠ABC=∠D， ∠BAE=∠DAB可得△ABE∽△ADB （2）2 
（3）證明△FAO是Rt△，即OA⊥FA，所以直線ＦＡ與⊙O相切 

試題分析：（1）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C， 
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D， 
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB 
（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴ 
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12， 
∴AB=2 
（3）解：直線ＦＡ與⊙O相切 
理由如下：連接OA
∵ BD是⊙O的直徑
∴∠BAD=90°
在Rt△BAD中，AD= AE+ED=2+4=6，由（2）得AB=2
∴有BD== 
∴OB=OD=BD=2
∴BF=OB= 2
在△FAO中，BF=OB=AB＝FO= 2
∴△FAO是Rt△，即OA⊥FA 
∴直線ＦＡ與⊙O相切 
點評：直線與圓相切，相似三角形
點評：本題考查直線與圓相切，平行四邊形，掌握直線與圓相切的概念和性質，并能判斷直線與圓相切，掌握相似三角形的判定方法，會判定兩個三角形相似