Question

【題目】已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點C與點E重合），點B，C（E），F在同一直線上，AB=3cm，BC=9cm，EF=8cm，PE=PF=5cm，如圖②，△EFP從圖①的位置出發，沿CB方向勻速運動，速度為2cm/s，當點F與點C重合時△EFP停止運動停止．設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）當0＜t＜2時，EP與CD交于點M，請用含t的代數式表示CE=______，CM=______；

（2）當2＜t＜4時，如圖③，PF與CD交于點N，設四邊形EPNC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）當2＜t＜4時，且S四邊形EPNC：S矩形ABCD=1：4時，請求出t的值；

（4）連接BD，在運動過程中，當BD與EP相交時，設交點為O，當t=______時；O在∠BAD的平分線上．（不需要寫解答過程）

Answer 1

【答案】（1）2t ， t ；（2）y=-t2+12t-12；（3）t=4 - ；（4）.

【解析】

（1）由等腰三角形的性質可得PH=3cm，EH=HF=4cm，由題意可得EC=2t，由銳角三角形函數可得tan∠PEH=，可得MC=t；

（2）由銳角三角函數可得CN=，由S△PEF-S△CNF=S四邊形EPNC，可求y與t之間的函數關系式；

（3）由題意可得y=，代入解析式可求t的值；

（4）過點O作OM⊥AD，ON⊥AB，垂足分別為點M，點N，可得四邊形ANOM是矩形，可得AM=ON，由角平分線的性質可得OM=ON，由三角形的面積關系可得ON=OM==AM，由銳角三角函數和平行線分線段成比例可求EC的長，即可求t的值．

解：（1）如圖，過點P作PH⊥EF，垂足為H，

∵EF=8cm，PE=PF=5cm，PH⊥EF，

∴EH=HF=4cm，

∴PH==3cm，

∵△EFP沿CB方向勻速運動，速度為2cm/s，

∴CE=2t，

∵tan∠PEH=

∴

∴MC=t，

故答案為：2t，t，

（2）如圖，過點P作PH⊥BC于點H，

由（1）可知：PH=3cm，EH=HF=4cm，

∴S△PEF=×8×3=12，

∵CF=EF-EC，

∴CF=8-2t，

∵tan∠PFE=，

∴CN=，

∴y=S△PEF-S△CNF=12-×（8-2t）×（8-2t）=-t2+12t-12

（3）∵S四邊形EPNC：S矩形ABCD=1：4

∴×3×9=-t2+12t-12

∴2t2-16t+25=0

∴t=4±

∵2＜t＜4

∴t=4-

（4）如圖，過點O作OM⊥AD，ON⊥AB，垂足分別為點M，點N，

∵OM⊥AD，ON⊥AB，∠BAD=90°，

∴四邊形ANOM是矩形，

∴AM=ON，

∵AO平分∠DAB，OM⊥AD，ON⊥AB，

∴OM=ON，

∵S△ABD=S△ABO+S△AOD，

∴

∴ON=OM==AM，

∵AD∥BC

∴∠APE=∠PEC

∵tan∠APE=tan∠PEC==

∴MP=3，

∴PD=AD-AM-MP=

∵ON∥AD

∴

∴

∵AD∥BC

∴

∴BE=PD=

∴EC=BC-EB=

∴t==

故答案為：