Question

設A₁A₂A₃…A_n是一個有n個頂點的凸多邊形，對每一個頂點A_i（i=1，2，3，…，n），將構成該角的兩邊分別向外延長至A_i1，A_i2，連接A_i1A_i2得到兩個角∠A_i1，∠A_i2，那么所有這些新得到的角的度數的和是

360°

．

Answer 1

分析：根據三角形內角和等于180°，凸多邊形內角和等于（n-2）•180，將（∠A₁₁+∠A₁₂）+（∠A₂₁+∠A₂₂）+…+（∠A_n1+∠A_n2）變形為（∠A₁₁+∠A₁₂+∠A₁）+（∠A₂₁+∠A₂₂+∠A2）+…+（∠A_n1+∠A_n2+∠A_n=）-（∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n）即可求出所有這些新得到的角的度數的和．

解答：解：n個頂點的凸多邊形內角和等于：∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n=（n-2）•180，
∠A₁₁+∠A₁₂+∠A₁=180 （三角形的內角和）．
所以（∠A₁₁+∠A₁₂）+（∠A₂₁+∠A₂₂）+…+（∠A_n1+∠A_n2）=180n-180（n-2）=180×2=360．
故答案為：360°．

點評：本題考查了凸多邊形內角和的公式和三角形內角和等于180°，解題關鍵是將各個三角形的內角總和減去凸n多邊形內角和．